8 Zahlen und Codes

8.2 Zahlensysteme

Unter den Zahlensystemen nehmen die "polyadischen" Systeme (auch B-adische Systeme genannt) eine herausragende Stellung ein. Kennzeichnend für diese Zahlenssysteme ist das sehr einfache Bildungsgesetz (siehe Kap. 1), das Gl. 8.1 in Form einer Potenzreihe realisiert:

Eine natürliche Zahl n wird demnach durch folgende Summe von Potenzen dargestellt:

,

(8.2)

wobei gilt:

	B ist die Basis des Zahlensystems:
und:
	bi sind Zahlenkoeffizienten:	.

Die in Gl. 8.2 definierte Zahl n wird normalerweise in einer Kurzform dargestellt, die nur die signifikanten Koeffizienten wiedergibt. Im Zweifelsfall wird auch die Basis B als Index angegeben:

.

(8.3)

In dieser systemunabhängigen Ziffernschreibweise, in der ja auch unsere Dezimalzahlen niedergeschrieben werden, können am Anfang stehende Nullen unterdrückt werden. Bei bestimmten arithmetischen Operationen sind aber auch diese führenden Nullen zu berücksichtigen, um leicht auftretende Fehler zu vermeiden (s.u.).

In Kap. 1.1 wurden bereits die wichtigsten polyadischen Zahlensysteme unterschieden, die den Basiswerten 2, 8, 10 und 16 entsprechen:

Das oben erwähnte sumerisch-babylonische Zahlensystem (Basis 60) wird als "sexagesimales" Zahlensystem bezeichnet.

Gleichungen 8.2-3 zeigen, daß die Position eines Koeffizienten einer genau bestimmten Wertigkeit entspricht (einem Gewicht). Dies ist äquivalent mit der oben wiedergegebenen Definition für ein positionelles Zahlensystem.

Entsprechend Gl. 8.2 können auch Brüche dargestellt werden, indem man negative Werte für den Index bzw. den Exponenten i zuläßt:

.

(8.4)

Faßt man schließlich Gl. 8.2 und 8.4 zusammen, ergibt sich die Beschreibung der reellen Zahlen:

.

(8.5)

Oder in Ziffernschreibweise:

.

(8.6)

Aus Gl. 8.2 läßt sich durch schrittweises Ausklammern der Basis B eine weitere Darstellungsform gewinnen, die auf Grund ihrer algorithmischen Anwendungsmöglichkeiten von großer Bedeutung ist:

.

(8.7)

Dieses in Gl. 8.7 definierte Verfahren ist in der Mathematik als das Horner-Schema bekannt.

Auch der durch Gl. 8.4 beschriebene gebrochene Anteil kann über das Horner-Schema beschrieben werden:

.

(8.8)