2 Entwurf von Verknüpfungsnetzen

2.2 Minterme und Maxterme

Es existieren Boolesche Funktionen, die schon von der reinen Anschauung her (KV-Diagramm) sehr einfach aufgebaut sind. Es sind dies Funktionen, die nur einen einzigen Wert '0' bzw. '1' enthalten. Bei diesen Funktionen erhält man also durch Änderung nur dieses einen Funktionswertes die "Konstantenfunktionen" NULL bzw. EINS.

In diesem Sinne kann die Funktion, die nur eine einzige '1' enthält als minimal angesehen werden, die Funktion mit einer einzigen '0' entsprechend als maximal.

Diese ausgezeichneten BFkten können für jede Anzahl von Argumenten definiert werden.

Definition:

• Minterm-Funktion: diese Funktion erzeugt nur eine einzige '1'.
• Maxterm-Funktion: diese Funktion erzeugt nur eine einzige '0'.
  

Obwohl es sich natürlich um normale Boolesche Funktionen handelt, wird dieser Sachverhalt oft vernachlässigt; die Funktionen werden in diesem Fall einfach als Minterm bzw. Maxterm bezeichnet.

Im KV-Diagramm stellen sich diese BFkten anschaulich wie folgt dar:

• ein Minterm ist ein Einzelfeld mit 1-Eintrag,
• ein Maxterm ist ein Einzelfeld mit 0-Eintrag.
  

Da Min- und Maxterm-Funktionen sich durch ein einziges Feld auszeichnen, reicht es zu ihrer Charakterisierung, die Termart sowie den Feldindex anzugeben. Üblich ist die folgende Schreibabkürzung:

• Minterm: m_i
• Maxterm: M_i

Der Index i kennzeichnet das entsprechende, ausgezeichnete Feld und wird durch die Wertigkeit der Argumente (x,...,c,b,a) bestimmt.

Indizierung der Min- und Maxterme:

Abb. 2.15: Zählung der Min- und Maxterme.

Definition:

• Ein Minterm m_i ist ein vollständiger Argumenten-Vektor (a,b,c,...,x), für den eine BFkt f(a,b,c,...,x) den Wert '1' liefert.
  
• Ein Maxterm M_i ist ein vollständiger Argumenten-Vektor (a,b,c,...,x), für den eine BFkt f(a,b,c,...,x) den Wert '0' liefert.
  

Da Min- bzw. Maxterme sich durch Einzelfelder auszeichnen, können sie algebraisch beschrieben werden durch:

• eine Vollkonjunktion aller Argumente (Minterm),
• eine Volldisjunktion aller Argumente (Maxterm, als Komplement des 0-Einzelfeldes).
  

Beispiel:

Abb. 2.16: Erzeugung von Min- bzw. Maxtermfunktionen.

Unter Benutzung der oben eingeführten Abkürzung werden die beiden Funktionen dieses Beispiels algebraisch wie folgt beschrieben:

Minterm:
Maxterm:

Die bereits diskutierte Beispielfunktion kann jetzt mit Hilfe von Min- bzw. Maxtermen beschrieben werden:

KV-Diagramm der Ergebnis-BFkt (s.o.):

Abb. 2.17: Beispielfunktion (Maxterm-/Minterm-Beschreibung).

Wie aus diesem KV-Diagramm ersichtlich, kann die BFkt also entweder unter Verwendung von sieben Mintermen oder eines Maxtermes beschrieben werden:

7 Minterme:
1 Maxterm:

oder, in Kurzschreibweise: